4-3-2-آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره………………………………………………………………30
4-3-2-1-آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره……………………………………………………….31
4-4-میانه جهت داده شده به تابع چندکی بر اساس روش شیب………………………………………….32
4-5-نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………………………….32
فصل پنجم: چندک تعمیم یافته………………………………………………………..33
5-1-معرفی U(p) به عنوان چندک تعمیم یافته…………………………………………………………………34
5-1-1-حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی…………………………………………………35
5-1-2-منحنی های لورنز به عنوان توابع چندکی تعمیم یافته……………………………………………37
5-1-3-چندک های سطوح تابع عمق……………………………………………………………………………………..39
فصل ششم: آماره های مکان و مقیاس درR^d………………………………………41
6-1-مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………….42
6-2-آماره مکانی L در R^d……………………………………………………………………………………………………42
6-2-1-آماره مکانی L براساس توابع چندکی……………………………………………………………………….42
6-2-2-آماره مکانی L براساس توابع عمق…………………………………………………………………………….43
6-2-3-آماره L مکانی براساس چندک های M…………………………………………………………………….46
6-3-آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره………………………………………………………………………46
6-3-1-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس میانه ی جهت داده شده به توابع چندکی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..47
6-3-2-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق………………………………………………..47
فصل هفتم: شبیه سازی……………………………………………………………………48
7-1-مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………49
7-2-شبیه سازی روش تابع عمق…………………………………………………………………………………………..49
7-2-1-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال…………………………………………………………………49
7-2-2-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نمایی………………………………………………………………..52
7-2-3-روش تابع عمق با استفاده از توزیع یکنواخت………………………………………………………….54
7-3-شبیه سازی منحنی مقیاس………………………………………………………………………………………….56
7-3-1-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع مستطیلی…………………………………………………………56
7-3-2-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره………………………………………………58
منابع……………………………………………………………………………………………..60
پیوست………………………………………………………………………………………….65

سایت منبع

فهرست شکل ها
عنوان و شماره صفحه
شکل 1-1-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد………………………………………3
شکل 1-2-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد………………………………..4
شکل 1-3-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد……………………………………….4
شکل 1-4-ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره……………………………………………….6
شکل 1-5-ناحیه های درونی حول مرکز…………………………………………………………………………………7
شکل 1-6-انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد…………………………………………………………………………………………………………………………………………….8
شکل 2-1-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال………………………………………………………….14
شکل 2-2-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی…………………………………………………………14
شکل 5-1-منحنی مقیاس……………………………………………………………………………………………………….36
شکل 7-1-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره با ? های 1/0، 2/0 و 4/0…………………………………………………………………………………………………………………………………………..50
شکل 7-2-عمق نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره……………………………………………….51
شکل 7-3-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره با ? های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………52
شکل 7-4-عمق نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره……………………………………………….53
شکل 7-5-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره با ? های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………..54
شکل 7-6-عمق نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره…………………………………………..55
شکل 7-7-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت استاندارد…………………………………………………………..56
شکل 7-8-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت روی بازه (2و0)………………………………………………57
شکل 7-9-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره N(0,I)……………………………………………….58
شکل 7-10-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره N(0,2I)…………………………………………59
فصل اول
مقدمه
در این فصل ما چندک و تابع چندکی را برای حالت یک متغیره تعریف کرده و سپس تابع چندکی را به حالت چند متغیره تعمیم می دهیم.
1-1- چندک مرتبه(Q_p) p
فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع توزیع F(.) باشد.پارامتر Q_pرا چندک مرتبه p برای F(.) یا متغیر تصادفی Xمی نامیم ، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر برقرار باشد:
P(X<Q_p )? p ?P (X?Q_p ), 0 <p< 1
این نامساوی دو طرفه بدین معنی است که مقدار احتمال در فاصله باز (-?, Q_p) حداکثر p و در فاصله نیم باز (-?,Q_p] حداقلp است.
اینک به حالات خاص زیر توجه کنید:
الف. اگر F(.) پیوسته واکیداً صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهش نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی F(Q_p )=p شده و در این حالتQ_p پاسخ یکتای معادله زیر خواهد بود:
F(Q_p )=?_(-?)^(Q_p)??f(x)dx .?
شکل (1-1) به خوبی بیانگر این موضوع می باشد.
شکل (1-1): چندک p ام در یک توزیع پیوسته وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد.
ب. اگر نمودار F(.) شامل یک یا چند خط افقی باشد، ممکن است Q_p برای بعضی از مقادیر p یکتا نباشد. به عنوان مثال در شکل (1-2) تمام نقاط بازه ی [q_1,q_2 ] می تواند به عنوان چندک Q_p تفسیر شود.
شکل (1-2): چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد.
ج. اگر F(.) در یک یا چند نقطه دارای جهش باشد، ممکن است Q_pبرای بعضی از مقادیر متفاوت pیکسان باشد. برای درک بهتر موضوع به شکل زیر توجه کنید.
شکل (1-3): چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد.
1-2-1- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت یک متغیره
چندک p ام یک تابع توزیع تک متغیره ی F، F^(-1) (p) می باشد. میانه m توسط F^(-1) (1/2) محاسبه می شود و برای0<p<1 نقاطF^(-1) ((1-p)/2) و F^(-1) (1-(1-p)/2) بازه ای به فرم رابطه (1-1) را شکل می دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه، 1-p باشد. این دیدگاه ما را به سمت تعریف ناحیه درونی چندک p ام به صورت
(1-1) [F^(-1) ((1-p)/2),F^(-1) (1-(1-p)/2)]
هدایت می کند که به وضوح دارای احتمال p است.
به عنوان مثال به ازای p=1/2 ناحیه ی درون چارکی تشکیل می شود و با میل دادن p به سمت صفر میانه حاصل خواهد شد. وقتی که بین p و p ? رابطه ی p=|2p ?-1| برقرار باشد دو مقدار p ? به صورت زیر بدست خواهد آمد:
p ?=(1-p)/2 , p ?=(1+p)/2
F^(-1) ( p ? ) های حاصل به عنوان نقاط مرزی ناحیه درونی چندک p ام تلقی خواهند شد.
ناحیه ی درونی چندک p ام برای 0<p<1 اطلاعات چندک برای توزیع F را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای 0<p_1<p_2<1 ناحیه درونی چندک p_1 ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک p_2 ام است.

برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در R، (u=±1)، تابع چندکی جهت یافته از میانه Q(u,p) را به صورت زیر تعریف می کنیم:
Q(u,0)?m
Q(-1,p)=F^(-1) ((1-p)/2)
Q(+1,p)=F^(-1) (1-(1-p)/2)
شکل زیر ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره را نشان می دهد.
شکل (1-4): ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره
در شکل (1-4) نقاط Q(-1,p) و Q(+1,p) نقاط مرزی هستند که ناحیه ی درون این بازه دارای احتمال p و ناحیه ی خارج این بازه دارای احتمال 1-p می باشد.
1-2-2- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت چند متغیره
برای تعریف تابع چندکی Q(u,p) در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش 2-2 به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی m داده شده است و u?S^(d-1) (m) که S^(d-1) (m) به صورت زیر تعریف می شود:
S^(d-1) (m)={(x_1,…,x_d ) : x_1^2+…+x_d^2=1}.
همچنین فرض می کنیم خانواده ی A={A_? , 0<?<?} که در آن برای 0<?<(? <) ??، A_??A_? ? و A_0=lim?(??0)??A_?=? {m} است، شامل ناحیه های تودرتو حول mباشد. تابع چندکی جهت یافته از میانهQ(u,p) به سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران A_? ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.
شکل (1-5): ناحیه های درونی حول مرکز به طوریکه ?<(? ) ?
با مشخص کردن نقاط روی ناحیه های مرزی A_? و A_? ? تابع چندکی جهت یافته از میانه حاصل می شود. به طور دقیق تر برای p?(0,1)، ?_p=inf{? :P(A_? )>p} تعریف می شود و آنگاه Q(u,p) توسط نقطه ی مرزی A_(?_p ) در جهت u از m مشخص می شود و A_(?_p ) یک ناحیه ی درونی چندک p ام را ارائه می کند. کرانه های ?A، که کانتور نامیده می شود، تفسیر های مفیدی را به عنوان تابع چندکی جهت یافته از میانه دارند. ایده های متفاوت از میانه ی m و شکل های متفاوت برای ناحیه های A_? ما را به فرم های متفاوت تابع چندکی، سوق می دهند.
شکل (1-6): انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد.
شکل (1-6) ناحیه های تودرتو را نشان می دهد و در اینجا A_(?_p ) ناحیه ای را نشان می دهد که در بین ناحیه های دیگر کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد و به این ناحیه، ناحیه ی درونی چندک p ام گفته و به کرانه های A_(?_p ) کانتور می گوئیم.
خواص تابع چندکی جهت یافته از میانه Q(u,p) در زیر بیان شده است:
1- برای هر ثابت p?[0,1) و به ازای همه ی u ها، مجموعه {Q(u,t):0?t?p } شامل یک ناحیه ی درونی چندک p ام با نقاط مرزی Q(u,p) و میانه Q(u,0)?m می باشد.
2- برای هر جهت u از m فاصله ی ?Q(u,p)-m ? نسبت به p افزایشی است، که در آن ?. ? نشان دهنده نرم اقلیدسی است.
3- ناحیه های درونی چندک p ام یا {Q(u,t):0?t?p } به ازای همه ی u ها دارای ساختار و تفسیر مناسبی است.
برای راحتی کار، از این به بعد به جای نام کامل تابع چندکی جهت یافته از میانه، به اختصار از تابع چندکی نام می بریم.
فصل دوم
چندک ها بر اساس تابع عمق
2-1- مقدمه
همانگونه که قبلا متذکر شدیم، توسیع مفهوم چندک به داده های چند بعدی می تواند از چند منظر صورت گیرد، ما در این فصل این مفهوم را با استفاده از تابع عمق گسترش می دهیم. بدین منظور ابتدا تابع عمق را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.

2-2- تابع عمق
تابع حقیقی مقدار و غیر منفی D(x) که بر روی R^d تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی R^d ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در R^d ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.
2-2-1- تابع عمق آماری
فرض کنیدF یک تابع توزیع باشد. هر تابع D(x,F) که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی R^d بر اساس F ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.
فرض کنید D(x,F) یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای x یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی D(X,F) به صورت معمول زیر تعریف می شود:
F_D (y)=P(D(X,F)<y) , y>0 .
2-2-1-1- ناحیه ی درونی عمق ?
فرض کنید D(.,F) یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق ? به صورت
I(?,D,F)={x: D(x,F)> ? , ?>0}
معرفی می شود. لازم به ذکر است که I(0,D,F)=R^d
در ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.
2-2-1-2- تابع عمق نیم فضا
وقتیکه H یک نیم فضای بسته R^d باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
HD(x,F)= inf {P(H) , x?H}.
برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا، d=2 را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود. HD(x,F) نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه x را داشته باشد.
2-2-1-2-1- ناحیه ی درونی عمق نیم فضا
فرض کنید P یک تابع احتمال رویR^d باشد. در صورتیکه H یک نیم فضای بسته R^d باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
I(?,HD,F)=?{H: P(H)>1-?}.
برای مثال، فرض کنید d=2 است، آنگاه I(?,HD,F)ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از 1-? بزرگتر است، مشترک است.
شکل (2-1)، I(?,HD,F) را برای توزیع نرمال دو متغیره با ? های متفاوت و شکل (2-2)، I(?,HD,F) را برای توزیع نمایی دو متغیره با ? های متفاوت نشان می دهد.
شکل (2-1): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال دو متغیره
شکل (2-2): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی دو متغیره
2-2-1-3- ناحیه ی مرکزی p ام
بیشترین عمق کرانه ای که دارای ناحیه های درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p است را توسط ?_p نشان می دهیم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(2-1) .?_p=sup{? :P(I(?,D,F))?p}
با توجه به تعریف، چون I(?,D,F) نسبت به ? نزولی است بنابراین وقتی ? به ?_p صعود می کند ناحیه ی I(?,D,F) بهI(?_p ,D,F) نزول می یابد و داریم:
P(I(?_p,D,F))=lim?(???_p )??P(I(?,D,F))?p? .
درستی رابطه فوق در زیر توضیح داده شده است.
فرض کنید F_D یک تابع توزیع پیوسته با عمق ? باشد، داریم:
(2-2) P(I(?,D,F))=1-F_D (?)
و اگر F_D اکیدا صعودی باشد با توجه به روابط (2-1) و (2-2) خواهیم داشت:
F_D (?_p )=1-p ? ?_p=F_D^(-1) (1-p) .
اما در حالت کلی یعنی اگر شرط اکیدا صعودی را نداشته باشیم آنگاه:
F_D (?_p )?1-p
P(I(?_p,D,F))=lim?(???_p )??P(I(?,D,F))?1-(1-p)=p?
با توجه به توضیحاتی که گفته شد، کوچکترین ناحیه ی درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p وجود دارد که توسط C(p,D,F)=I(?_p,D,F) نمایش داده می شود و ناحیه ی مرکزی p ام نامیده می شود.

2-2-1-4- ناحیه ی بیرونی p ام
برای هر ??0 ناحیه ی بیرونی O(?,D,F) را توسط رابطه ی زیر تعریف می کنیم:
O(?,D,F)={x: D(x,F)??}?supp(F) .
که در آن منظور از supp(F)، تکیه گاه F می باشد.
کمترین عمق کرانه ای که احتمال ناحیه ی بیرونی بزرگتر از p دارد را توسط ? ?_p نشان می دهیم:
? ?_p=inf{? :P(O(?,D,F))>p} .
با توجه به اینکه P(O(?,D,F))=F_D (?)، بنابراین داریم:
F_D (? ?_p )=p,
و در نتیجه
? ?_p=F_D^(-1) (p).
تعریف2-1- کانتور عمق
به کرانه ?I(?,D,F) یعنی نقاط مرزی I(?,D,F) ، کانتور عمق می گوئیم. علت این نامگذاری این است که ناحیه های درونی بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.
2-2-1-5- سطوح چندکی بر اساس عمق
برای 0<p<1 کانتور عمق ?_p را به عنوان تابع چندکی ای می توان تفسیر کرد که با استفاده از رابطه ی
Q(p,D,F)=?I(?_p,D,F)=?C(p,D,F),
مشخص می شود و آن را سطح چندک p ام می نامیم.
حالا با مشخص کردن نقاط رویQ(p,D,F) در جهت u از m یک تابع چندکی Q(u,p) حاصل می شود که در آن u?S^(d-1) (m) می باشد و شرط 1و2 تابع چندکی که در بخش 1-2-2 بحث شد را دارد.
ناحیه های درونی چندک p ام به آسانی به عنوان ناحیه های مرتبط با عمق بالاتر تفسیر می شوند که نقاط مرزی دارای عمق ?_p و نقاط درونی دارای عمق بزرگتر یا مساوی ?_p هستند. بدین صورت شرط سوم تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2، نیز به خوبی حاصل می شود. با استفاده از توابع عمق متفاوت، نسخه های متفاوت توابع چندکی حاصل می شوند.
2-3- نتیجه گیری
در این فصل تابع چندکی را بر اساس تابع عمق بدست آوردیم و هر سه خاصیت تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2 نیز برقرار بودند. از اینرو تابع عمق در بدست آوردن تابع چندکی بسیار کارا است. در ضمن می دانیم که تابع چندکی ویژگی های خوب بسیاری را در اختیار ما می گذارد که می توانیم از طریق آنها چندک های چند متغیره را بطور مناسبی پیدا کنیم.
فصل سوم
چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم
3-1- مقدمه
فرگوسن در سال 1967 با مینیمم کردن رابطه
(3-1) E{|Z-?|+(2p-1)(Z-?)}
نسبت ?، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوری به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (3-1) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.
3-2-1- روش ابدوس و تئودورس1 (1992)
از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 برای 1?r?? و 0<p<1 تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند:

?x?_(r,p)=?(x_1,…,x_d )?_(r,p)
=?(|x_1 |+(2p-1) x_1)/2,…,(|x_d |+(2p-1) x_d)/2?_r
که در آن ?.?_r نرم اقلیدسی L^r رویR^d است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:
?x ? ?=(??(|x_i |^r ) )^(1/r)

چندک p ام، ?_(r,p)، زمانیکه x?R^d باشد از مینیمم کردن
{?X-??_(r,p)-?X?_?( @r,p) } E، بدست می آید. بنابراین برای هر r در نرم L^r، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط p?(0,1) دسته بندی می شوند و برای ثابت r، با در نظر گرفتن متغیر p در بازه (0,1) و قرار دادن ?_(r,p) به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در R^d با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار |p-1/2|، p=0, 1/2، تولید می شوند که در بخش 3-2-2 بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر r = 1 و d=1 باشد، آنگاه:
E{?X-??_(1,p)-?X?_(1,p) }
=1/2 E{|X-?|+(2p-1)(X-?)-|X|-(2p-1)X}
=1/2 E{|X-?|+(2p-1)X-(2p-1)?-|X|-(2p-1)X}
=1/2 E{|X-?|-|X|-(2p-1)?}
(3-2) =1/2 [?_(-?)^??{|x-?|-|x|} f(x)dx -(2p-1)?]
باید (3-2) را روی ? مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:
d/d? (1/2 [?_(-?)^??{|x-?|-|x|} f(x)dx -(2p-1)?])
= 1/2 [?_(-?)^???d/d? {|x-?|-|x|} ? f(x)dx-(2p-1)]
=1/2 [?_(-?)^???d/d? |x-?| f(x)dx-(2p-1) ?]
=1/2 [?_(-?)^???d/d? (?-x)f(x)dx+?_?^???d/d? (x-?)f(x)dx-(2p-1) ??]
=1/2 [?_(-?)^???f(x)dx+?_?^???-f(x)dx-(2p-1) ??]
از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:
1/2 [?_(-?)^???f(x)dx+?_?^???-f(x)dx-(2p-1) ??]=0
?F(?)-[1-F(?)]-(2p-1)=0
?F(?)=p??=F^(-1) (p) ام pچندک
بنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن ? در رابطه 3-2 چندک p ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

برای r = 1 ، ?_(1,p) را بردار چندک های p ام تک متغیره کناری می نامیم. برای r=2 ، به ?_2,0.5 میانه ی فضایی گفته می شود.

3-2-2- بررسی تابع چندکی Q(u,p) توسط چندک های ?_(r,p)
در این بخش وجود تابع چندکی Q(u,p) توسط چندک های ?_(r,p) برای r ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا Q(u,0)=?_(r,0.5)=m می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های A_(r,t)={?_(r,s):|s-1/2|?t} برای 0?t<1/2 را در نظر بگیرید. برای r ثابت، A_(r,t) یک منحنی در R^d است. بنابراین برای r ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا ?_(r,0.5) می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک p ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی Q(u,p) توسط چندک های ?_(r,p) داشته باشیم.
3-3-1- روش چادوری2
چادوری در سال 1996، رابطه (3-1) را از طریق یک تفسیر متفاوت به R^d بسط داده است. ابتدا (3-1) را به شکل دیگری باز نویسی می کنیم:
E{|Z-?|+u(Z-?)}
که در آن u = 2p-1 می باشد. بنابراین چندک p ام برای p?(0,1) توسط u?(-1,1) دسته بندی می شود. با توسیع u به حالت چند متغیره، کره ی واحد بازB^(d-1) (0) حاصل می شود و توسط آن چندک های d بعدی تشکیل می شوند.
روش چادوری در بدست آوردن چندک چند متغیره به صورت زیر می باشد:
چندک u امQ ?(u) ، x?R^d، حاصل می گردد هرگاهQ ?(u) ، ?(u,X)}-u,X-?)) ?} Eرا می نیمم کند که در اینجا ?(u,t)=?t?+<u,t> می باشد که در اینجا منظور از <.,.> ، ضرب داخلی روی فضای R^d می باشد.
در مقایسه با روش ابدوس و تئودورس برای حالت نرم L^2 ما دوباره چندک های برداری داریم که هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و میانه ی فضایی، مرکز را ایجاد می کنند یعنی Q ?(0) مبدا است، بنابراین Q ?(0)= ?_(2, 1/2) .
نقاط در R^d غیر از m تحت این دو سیستم چندکی تفسیرهای متفاوتی دارند.
برای مقایسه ی بهتر روش چادوری با روش ابدوس و تئودورس، تابع زیان یک متغیره L(u,t)=|t|+ut که در آن u?(-1,1) t?R , هستند را در نظر می گیریم. ابدوس و تئودورس با تعمیم L(2p-1,t) ، t?R، به حالت چند متغیره با استفاده از نرم L^2 به فرم ?L(2p-1,t_1 ),…,L(2p-1,t_d )?که همان نرم اقلیدسی است، برای p?(0,1) و t=(t_1,…,t_d )?R^d، چندک p ام در R^d را بدست آوردند. اما چادوری در سال 1996 چندک u ام )برای (u?B^(d-1) (0) در R^d را با تعمیم L(u,t) به ?(u,t)، (t?R^d ,u?B^(d-1) (0)) بدست آورد.
چادوری چندک Q ?(u)را برای حالت ?u?=0، چندک مرکزی و برای حالت =1 ?u? چندک انتهایی نامید.
وقتی n مشاهده داشته باشیم، ?u? میزان انحراف Q ?_n (u)از مرکز m را ارائه می دهد. دراینجا با ذکر چند نکته این موضوع را روشن می کنیم.
الف- میزان انحراف به صورت فاصله اقلیدسی بین Q ?(u) و mنیست.
ب- فاصله از m بطور یکنواخت در?u? افزایش نمی یابد.
ج- برای d?2 اندازه ?u? تفسیر احتمالی ندارد. اما در حالت یک متغیره با در نظر گرفتن u=2p-1 تفسیر احتمالی خواهد داشت.
د- در حالیکه ناحیه ی {Q ?(u): ?u? <0.5} در حالت یک متغیره برای ?p?3/4 1/4 (یعنی ناحیه ی درون چارکی) با چندک p ام ارتباط دارد، برای 2 d? در ارائه چنین تعبیری، که در ادبیات از آن با عنوان نیمه میانی3 یاد می شود، ناتوان است.
حال با ارائه مثالی در حالت یک متغیره به بررسی خواص ذکر شده می پردازیم.
مثال 3-1:
F=0.5F_1+0.5F_2 را در نظر بگیرید، که F_2 و F_1 به ترتیب توزیع های یکنواخت(مستطیلی) روی [0,1] و [-100,0] هستند. در این صورت:
F(x)={?(?(0 x<-100@0.5F_1 (x) -100?x<0)@0.5+0.5F_2 (x) 0?x<1@1 x?1)?
آنگاه m=0 و چون u=2p-1 درنتیجه Q ?(u) برای u های مختلف به شکل زیر می باشد:
Q ?(0.5)=F^(-1) (0.75)=0.5
Q ?(-0.5)=F^(-1) (0.25)=-50
Q ?(-0.1)=F^(-1) (0.45)=-10
در اینجا دو چندک ? Q ??_n (±u) که Q ? برآورد Q ? است، با ?u?=0.5 را محاسبه کردیم که انحراف از m به وضوح دیده می شود و نشان دهنده ی نکته ی الف می باشد. دو چندک Q ?_n (u)و Q ?_n (u ? ) برای |u|=|-0.1|<|0.5|=|u ? | بصورت |Q ?_n (u)|=|10|>|0.5|=Q ?_n (u ? ) می باشد که نشان دهنده ی نکته ب می باشد.
3-3-2- بررسی تابع چندکی Q(u,p) توسط چندک های Q ?(u)
در این بخش وجود تابع چندکی Q(u,p) با استفاده از Q ?(u) را مورد بررسی قرار می دهیم. بدین منظور ابتدا از میانه یعنیQ(u,0)= Q ?(0)=m ، شروع می کنیم. برای مثال مجموعه های B_t= {Q ?(u ? ):?u ? ?<t} برای 0?t<1 را در نظر می گیریم. این مجموعه ها به طور طبیعی ناحیه های درونی تو در تو را ایجاد می کنند.
با قرار دادن t_p=inf{t:P(B_t)?p} و جهت uاز m، نقاط کرانه ای B_(t_p ) ( برای Q ?(u ?) هایی که ?u ? ?=t_p) یک تابع چندکی Q(u,p) را ایجاد می کند که شرایط 1 و 2 تابع چندکی را دارا است. بطور خاص، این موضوع توسط یک ناحیه درون چارکی با حجم داده شده، به عنوان یک مثال از برد میان چارکی تک متغیره، به آسانی دیده می شود. به هر حال، پارامترهایu ? و u بکارگرفته شده در Q ?(u ?) و Q(u,p) دارای یک مضمون نمی باشند. لذا، نمی توانند به خوبی از عهده تفسیر ویژگی 3 ذکر شده در بخش 1-2-2 برآیند. به عبارت دیگر ارتباط بین پارامترهای u ? در Q ?(u ?) و پارامترهای(u,p) برای
Q ?(u ? )=Q(u,p) مبهم می باشد که تفسیر سختی از ناحیه درونی چندک p ام B_(t_p ) بعنوان یک مجموعه در R^d می سازد . اگرچه ?u ? ? بعنوان یک مدلی از اندازه زیرین یا تودرتو بودن، تفسیر می شود. اما شرط 3 از شرایط تابع چندکی گفته شده در بخش 1-2-2 برقرار نمی باشد.
یک خاصیت قوی: در نظر بگیرید Q ?_n (u) برای یک سری داده x_1,…,x_n محاسبه می شود و فرض کنید برای u داده شده و 1?i?n ،Q ?_n (u)?x_i باشد آنگاه:
-1/n ?_(i=1)^n?{(x_i-Q ?_n (u)) / ?x_i-Q ?_n (u)?} =u
در اینجا نتیجه می شود که Q ?_n (u) تنها از طریق بردار جهت u به x_i ها وابسته است. بنابراین اگر نقاط x_i در امتداد شعاعشان نسبت به Q ?_n (u) به طرف بیرون حرکت کنند، مقدار Q ?_n (u) برای u ثابت، ثابت باقی می ماند.
3-4- نتیجه گیری
در این فصل با استفاده از دو روش متفاوت در بسط رابطه 3-1، چندک چند متغیره را محاسبه کردیم. روش ابدوس و تئودورس در بدست آوردن تابع چندکی ناموفق بود. ولی با استفاده از روش چادوری تابع چندکی بدست آمد. اما به دلیل اینکه ویژگی سوم تابع چندکی حاصل نشد، تابع چندکی بدست آمده خیلی مفید نیست.
فصل چهارم
چندک های چند متغیره داده ای براساس شیب
4-1- مقدمه
برای داده های تک متغیره x_1,…,x_n میانه، عبارت D(?)=??|x_i-?| را مینیمم می کند و با حل S(?)=-???sgn(x_i-?)=0? که در آن
sgn(x)={?(?(1&x?0)@?(0&x<0))?,
و S(?) مشتق D(?) می باشد، بدست می آید. تابع S(?) را می توانیم به عنوان چندک تفسیر کنیم. در این فصل با ذکر چند مثال، چندکهای چند متغیره را بر اساس روش مشتق گیری مورد بررسی قرار می دهیم.
4-2- بکارگیری روش مشتق گیری در بدست آوردن چندک های چند متغیره
D_3 (?), D_2 (?), D_1 (?) را به صورت زیر در نظر بگیرید و ?.?_r، r=1,2 ، در روابط زیر، نرم اقلیدسی L^r می باشد:
D_1 (?)=???x_i-??_1
D_2 (?)=???x_i-??_2
D_3 (?)=?_(1<i_1<…<i_d<n)?d!V(?,x_(i_1 ),…,x_(i_d ) )
که V(y_(i_1 ),…,y_(i_(d+1) ) ) حجم ساده در R^d با رئوس y_(i_1 ),…,y_(i_(d+1) ) می باشد.
با مشتق گرفتن از D_3 (?), D_2 (?), D_1 (?) ، S_1 (?) ، S_2 (?) و S_3 (?) حاصل می شوند که با برابر قرار دادن هر کدام با صفر به ترتیب میانه ی مولفه ای ، میانه ی فضایی و میانه ی اوجا4 حاصل می شوند.
تذکر آن که مشتق ها در حالت 2 d? بعنوان ایده های چند متغیره ی آماره آزمون علامت و چندک (بطور همزمان) تفسیر می شوند که در ادامه به آن می پردازیم.

  • 1
دسته بندی : پایان نامه ها

دیدگاهتان را بنویسید